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Funciones definidas explícita e implícitamente


Hasta ahora, nos hemos preocupado por diferenciar las funciones que se expresan en la forma y = f (x) Decimos que una ecuación de esta forma define y explícitamente en función de x, porque la variable y aparece solo en un lado de la ecuación. Sin embargo, a veces las funciones se definen con ecuaciones en las que y No está solo por un lado; por ejemplo la ecuación

yx + y +1 = x

no está en la forma y = f (x) Sin embargo, esta ecuación todavía define y en función de xuna vez que puedas reescribir cómo

y =

Entonces decimos que xy + y +1 = x definir y implícitamente en función de xser

f (x) =

Una ecuación en x y y puede definir implícitamente más de una función de x; por ejemplo si resolvemos la ecuación

a y en términos de xtenemos ; así encontramos dos funciones que están implícitamente definidas por , esto es

y

Los gráficos de estas funciones son semicírculos superiores e inferiores del círculo. .


y =

y = -

En general, si tenemos una ecuación en x y y, por lo que cualquier segmento de su gráfico que pase la prueba vertical se puede ver como un gráfico de una función definida por la ecuación. Así hacemos la siguiente definición:

Definición Decimos que una ecuación dada en x y y define la función f implícitamente si la gráfica de y = f (x) coincide con algún segmento del gráfico de ecuaciones.

Entonces, por ejemplo, la ecuación definir las funciones y implícitamente, ya que las gráficas de estas funciones son los segmentos del círculo .

A veces puede ser difícil o imposible resolver una ecuación en x y y a y en términos de x.

Con persistencia, la ecuación

por ejemplo se puede resolver a y en términos de x, pero el álgebra es aburrida y las fórmulas resultantes son complicadas. Por otro lado, la ecuación

sen (xy) = y

no se puede resolver a y en términos de x por cualquier método elemental. Entonces, incluso si una ecuación en x y y puede definir una o más funciones de x, puede que no sea práctico o posible encontrar fórmulas explícitas para esas funciones.

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