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Respuesta al desafío 189


Cuarta potencia más cuatro

Hagamos algunas modificaciones a la expresión n4 + 4, para ponerlo en forma de producto.

Comenzaremos por incluir los términos + 4n2 y -4n2, que no cambia el resultado de la expresión, ya que la suma de ambos es cero. A partir de ahí podemos aplicar las reglas de factorización.

no4 + 4 = no4 + 4n2 + 4 - 4n2
= (n2 + 2)2 - (2n)2 diferencia de dos cuadrados
= ((n2 + 2) + 2n) ((n2 + 2) - 2n)
= (n2 + 2n + 2) (n2 - 2n + 2)

Luego llegamos a un producto, que solo puede dar como resultado un número primo si uno de los factores es igual a 1.

El primer factor no satisface esta condición, ya que nos damos cuenta claramente de que n2 + 2n + 2> 1, para n mayor o igual que 1.

Por lo tanto, debemos tener el segundo factor igual a 1, es decir:
no2 - 2n + 2 = 1
no2 - 2n + 1 = 0 (restando 1 en ambos lados)
(n - 1)2 = 0 => n = 1

Cuando n = 1, tenemos un número primo, porque n4 + 4 = 5. Por lo tanto, este es el único valor de n para el cual n4 + 4 es primo.

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